Claudio Gutiérrez

71. Aplicación del método de tableros

Al finalizar el capítulo VIII anunciábamos que en el presente tema ilustraríamos ampliamente la aplicación de la técnica de representación en tableros. Este método nos ofrece un magnífico instrumento mecánico para ayudar en el proceso de razonamiento que es base del método deductivo. Llamamos deducción al proceso lógico que nos permite pasar de la verdad conocida de ciertas proposiciones a la verdad (inicialmente desconocida) de otras proposiciones. Tal proceso es importantísimo, como no escapará a la comprensión de los lectores, en todas las actividades inteligentes de la vida ordinaria. Pero lo es aún más en la creación y sistematización de las doctrinas científicas, como lo veremos por extenso en los últimos capítulos de esta obra. No obstante esta importancia, las operaciones básicas de la deducción son tan simples que pueden representarse gráficamente, e incluso ser tratadas como las movidas elementales de un juego de salón.

El razonamiento o deducción, como el juego de ajedrez, la ciencia militar, la política, o los negocios, se fundamenta en dos pilares fácilmente discernibles: la estrategia, que es la planificación de largo alcance para la solución de los problemas; y la táctica, que es el procedimiento básico que nos lleva, paso a paso, a la solución final prevista por la estrategia. Comenzaremos nuestro estudio de la deducción por el examen de la táctica y de su representación gráfica. Está constituida por los procedimientos elementales que consideraremos nuestras formas básicas de deducción. Consisten en transformaciones directas de una estructura lógica en otra, de acuerdo con ciertas reglas.

72. Tácticas de división y composición

Debemos pues formular esas reglas; igualmente, enunciar esas tácticas. Comencemos por formular la regla de conjunción, suponiendo desde luego la técnica de representación gráfica en tableros. Dirá así:

Una fórmula conjuntiva puede ser abierta, dejando sus dos partes en libertad dentro del espacio (tablero o parte de tablero doble) en que se encuentra esa fórmula. Dos fórmulas cualesquiera pueden ser unidas bajo un gancho conjuntivo para formar una conjunción dentro del espacio en que coincidan las dos fórmulas.

Así, la fórmula puede transformarse en lo siguiente:

y, por supuesto, también en lo siguiente:

donde cada una de las fórmulas queda independiente. Esta aplicación de la regla de conjunción será conocida como táctica de división.

Inversamente, el cuadro anterior puede originar cualquiera de las combinaciones conjuntivas de los cuatro elementos que comprende. Así, por ejemplo:

Esta aplicación de la regla de conjunción se dirá táctica de composición.

73. Tácticas de conmutación y asociación

La misma regla de conjunción que nos permite usar las tácticas anteriores nos permite también el empleo de las tácticas de conmutación y asociación. La primera consiste en pasar de "" a "", mediante la aplicación combinada de división y composición; la segunda, en pasar de "" a "", también mediante la aplicación de división (dos veces) y composición (dos veces).

Existe también una táctica de conmutación para las fórmulas disyuntivas; para aplicarla necesitamos de la regla de disyunción, que formulamos en la siguiente forma:

Una fórmula disyuntiva puede ser abierta en un tablero doble creado para este efecto dentro del espacio donde existe originalmente esa fórmula, poniendo en cada uno de los dos espacios del nuevo tablero una de las dos partes de la disyunción; la fórmula así abierta puede ser cerrada de nuevo en el espacio original, mediante el procedimiento de tomar una fórmula completa de cada uno de los espacios del tablero doble y acomodarlas sobre un gancho disyuntivo en el espacio que contiene a ese tablero doble.

Así, la fórmula "" queda representada una vez abierta como

y, con triple apertura, también así:

El primero de estos cuadros puede cerrarse en orden distinto al que se siguió al abrirse, dando lugar a la fórmula "", ya conmutada. El segundo cuadro puede cerrarse también en distinto orden, dando lugar a "".

La disyunción es asociativa como la conjunción, de modo que de la fórmula original que analizamos podría también formarse "". Sin embargo, no podemos todavía probar este paso apoyándonos solo en las reglas presentadas hasta ahora. Dejamos, pues, la prueba de la asociatividad de la disyunción para más adelante, y no contaremos con ella como una de nuestras tácticas o procedimientos básicos.

74. Tácticas de repetición y debilitamiento

Recordemos la diferencia entre el tablero de verdad fuerte y el tablero doble de verdad débil. El tablero "fuerte" significa que las proposiciones incluidas en él son todas verdaderas con seguridad; los "débiles" dicen que uno por lo menos de los espacios gemelos contiene solamente proposiciones verdaderas (o en el caso de cuantificación existencial, que lo que uno de los tableros contiene es verdadero de algún individuo, no necesariamente de todos). Recordemos también que dentro de los espacios del tablero doble puede haber otros tableros más débiles que el espacio que los incluye. Un tablero doble dentro de un espacio de otro tablero doble significa que si ese espacio que lo incluye resulta incluir solo proposiciones verdaderas, por lo menos uno de los dos espacios del tablero doble más débil será también uno que incluya solo proposiciones verdaderas. Ahora bien, lo que es verdad fuerte es también verdad débil (como dicen los abogados: el que puede lo más puede lo menos), lo cual quiere decir que podremos reproducir a voluntad dentro de cualquier tablero débil algo que ya esté en el espacio más fuerte que lo contiene. Por ejemplo, podemos pasar de

a

Llamaremos a esta regla,  regla de introducción. Dirá así:

Cualquier fórmula que esté en un espacio de un tablero puede introducirse de nuevo en el mismo espacio, incluso dentro de tableros más débiles incluidos en el espacio original.

Esta regla no permite la introducción de fórmulas en tableros exteriores al espacio en que originalmente está la fórmula, ni tampoco en el espacio de la "bandera" de una cuantificación existencial. Por ejemplo, es ilegítimo pasar de

a

Con base en la regla de introducción podemos ahora formular dos tácticas de inferencia. La primera es la táctica de repetición: de "" podemos pasar a "" (mediante las reglas de introducción y conjunción). La segunda es la de debilitamiento: de "" podemos pasar a "". Para esto usamos las tres reglas, así:

1. premisa:       2. Después de aplicar regla de conjunción:

3. Después de aplicar dos veces regla de introducción:     4. Después de aplicar regla de disyunción:

Todo es bueno Algo es bello luego: Algo es bueno y bello

1

2

3

75. Tácticas de separación y compactación

Al formular la regla de disyunción vimos que es posible pasar una fórmula de un tablero secundario al espacio inmediato más fuerte poniéndola dentro del signo disyuntivo junto con otra fórmula del espacio gemelo. Eso es legítimo porque dos espacios gemelos significan que el contenido total de uno de ellos es todo verdadero. Ahora vamos a dar otra regla, que llamaremos regla de promoción que nos permitirá pasar una fórmula de un espacio secundario al inmediato exterior, en ciertos casos especiales, sin necesidad de incluirla en una disyunción. Estos casos son dos: ante todo, puede suceder que en los dos espacios gemelos existan libres dos fórmulas idénticas; en consecuencia, esa fórmula tendrá que ser verdadera, pues los tableros dobles nos dicen que el contenido total de al menos uno de ellos es verdadero. Así, de

podemos pasar a

El segundo caso ocurre cuando, por circunstancias particulares, en uno de los espacios de un tablero doble llegan a coincidir dos fórmulas que son la una imagen en el espejo de la otra (la una negación o contradictoria de la otra). En tal caso, sabemos que una de las dos es falsa; luego, el espacio en que ambas están no puede ser aquel cuyas fórmulas son todas verdaderas, según el sentido del tablero doble; ese espacio será más bien el otro, con lo que habremos descubierto que contiene verdad fuerte: podemos pasar todo su contenido al tablero inmediato exterior. Así, de

podemos inferir

Eliminamos los gemelos en el espejo como castigo por haberse dado juntos en un mismo espacio, ya que en lógica contradecirse constituye el pecado capital, y promovemos todo el contenido del otro espacio, porque sabemos ahora que es todo verdadero.

Formulemos la regla de promoción:

Podemos promover al tablero inmediato más fuerte a toda fórmula independiente que también ocurra en el espacio gemelo, o a todo el contenido del espacio cuando en su espacio gemelo se haya descubierto una contradicción, es decir, dos fórmulas que son una la imagen en el espejo de la otra.

El segundo caso que cubre la regla constituye la táctica de separación. Como ilustración, sirva el famoso problema de la lógica clásica, modus ponendo ponens:

1. premisas:       2. regla de disyunción:

3. regla de introducción:     4. regla de promoción:

Nótese que la regla de promoción es el complemento de la regla de introducción: é sta última nos permite pasar fórmulas de tableros fuertes a tableros incluidos más débiles; la de promoción, en cambio, pasar fórmulas de tableros débiles a un tablero envolvente más fuerte. Hay una diferencia importante, sin embargo: la regla de introducción permite poner la fórmula en cualquier tablero interior al espacio en que está la fórmula original; en cambio, la regla de promoción permite solamente pasarla al tablero envolvente inmediato siguiente.

76. Tácticas y reglas

Antes de hacer un resumen de las tácticas enunciadas hasta aquí, tratemos de perfilar la diferencia que existe entre estos conceptos: "regla" y "táctica". Regla es un principio lógico general que me dice qué transformaciones son legítimas; todo lo que no es legítimo se considera ilegítimo, es decir, no puedo hacerlo. Táctica, por su parte, es la aplicación de una o más reglas a un problema sencillo que se presenta a menudo en el curso de nuestros razonamientos; implica la aplicación de una o varias reglas, una o más veces.

Podríamos perfectamente aprender sólo las reglas, y no las tácticas, y resolver directamente con ellas nuestros problemas lógicos. Pero esto haría más dispendioso nuestro trabajo intelectual. Mucho mejor es identificar las aplicaciones más frecuentes de las reglas, ponerles un nombre fácil para identificarlas, y aprenderlas de memoria. Las reglas conviene entenderlas bien, saber por qué son válidas. Pero no es preciso memorizarlas.

He aquí las tácticas explicadas hasta el momento:

1. División: de una conjunción de dos proposiciones pasar a una de esas proposiciones. Ejemplo: de "hay crisis fiscal y monetaria" a "hay crisis fiscal".
   
   

2. Composición: de dos proposiciones independientes pasar a una conjunción de ellas. Ejemplo: de "hay crisis fiscal" y "hay crisis monetaria" pasar a "hay crisis fiscal y monetaria".
   
   

3. Conmutación: de una proposición conjuntiva o disyuntiva en cierto orden de sus elementos pasar a la misma proposición molecular pero con un orden inverso. Ejemplo: de "hay crisis fiscal y monetaria" pasar a "hay crisis monetaria y fiscal".
   
   

4. Asociación: de una proposición conjuntiva uno de cuyos elementos es una conjunción, pasar a lo mismo pero con la conjunción interior variada de modo que incluya a la otra parte de la conjunción más amplia y el elemento desplazado sea parte de la conjunción más amplia. Ejemplo: de "hay crisis fiscal y hay desempleo y recesión económica" pasar a "hay desempleo y hay crisis fiscal y recesión económica".
   
   

5. Repetición: de una proposición pasar a la conjunción de esa proposición y su copia. Ejemplo: de "debemos economizar" a "debemos economizar y debemos economizar".
   
   

6. Debilitamiento: de una proposición conjuntiva pasar a una disyunción compuesta de los mismos dos elementos. Ejemplo: de "hay crisis fiscal y monetaria" a "hay crisis fiscal o monetaria".
   
   

7. Compactación: de la disyunción de una proposición consigo misma pasar a esa proposición simplemente. Ejemplo: de "debemos economizar o debemos economizar" pasar a "debemos economizar".
   
   

8. Separación: de una disyunción y la negación de uno de sus elementos pasar a la afirmación simple del otro elemento. Ejemplo: de "no economizamos o resolvemos la crisis" junto con "economizamos" desprender "resolvemos la crisis".

77. Notas sobre cuantificación

Las reglas que hemos formulado y las tácticas en que hemos resumido su empleo son perfectamente aplicables a las cuasiproposiciones. Así, de "" y "" puedo pasar a ""; de "" y "" puedo pasar a "", etc. En cambio, la "" o bandera que aparece en las cuantificaciones universal y existencial plantea algunos problemas y nos obliga a establecer ciertas restricciones a las reglas; estas son debidas al carácter de las cuantificaciones que, como sabemos, son "conjunciones" y "disyunciones" muy especiales. Formulemos esas restricciones explícitamente: como la "" primer elemento de la cuantificación universal no significa nada por sí misma, debe desaparecer al abrirse la cuantificación. En la práctica esto significa que la regla de conjunción nos permite abrir cuantificaciones universales pero no nos permite cerrarlas. Podemos abrir o cerrar una disyunción de la que forma parte "", pero no podemos abrir simultáneamente dos cuantificaciones existenciales, a fin de evitar la falacia de "ejemplificación ilegítima" ⁽¹⁾. Finalmente, la "" no puede ser ni introducida ni promovida, ya que estas operaciones no se ajustan al único sentido de este símbolo cuando aparece independiente, a saber, servir de bandera que advierte que lo que se afirma se refiere a un solo individuo. Esto no obsta para que "" pueda ser promovida o introducida como parte de otra fórmula, como en "" o en "".